Computational Differential geometry (Subproject S09209 of FWF-NFN Industrial Geometry S9205) - Semidiskrete Flächen

Semidiskrete Flächen beinhalten das gesamte Spektrum von glatten Funktionen von diskreten und reellen Variablen, mit dem rein diskreten und rein glatten Fall als Extremfällen. Man kann diese Objekte als Limites einer rein diskreten Theorie sehen, welche letztere bemerkenswerte Verbindungen zu Inzidenzgeometrie und zu integrablen Systemen besitzt. Sie treten bereits in der klassischen Transformationstheorie der Flächen auf, aber die niedrigdimensionalen Fälle von Abbildungen einer diskreten und einer reellen Variablen erregten Interesse anlässlich von Anwendungen in der Freiformarchitektur. Sie verdienen ein eingehendes Studium und haben auch ein großes Potential für Anwendungen. In diesem Projekt geht es uns um die semidiskreten Manifestationen von Minimal- und cmc-Flächen, ihre Transformationen, Isometrien, und Anwendungen. Semidiskrete Flächen in unserem Sinn traten zum ersten Mal anlässlich der Problemstellung auf, Flächen durch einfach gekrümmte Streifen zu approximieren. Von einem höheren Standpunkt aus gesehen handelt es sich dabei um konjugierte semidiskrete Flächen, sowie um ihre zirkulären und konischen Reduktionen. Auch die A-Flächen mit (in einem gewissen Sinn) asymptotischen Parameterlinien sind in Anwendungen bereits aufgetreten. Das erfolgreiche Prinzip einer rein diskreten Über-Theorie (vgl. die jüngste Monographie von Bobenko und Suris) erlaubt es, eine semidiskrete Fläche als Limes von diskreten Objekten zu sehen. Dieser Grenzübergang liefert in der Tat gute Hinweise auf Eigenschaften semidiskreter Flächen. Diese besitzt jedoch auch Eigenschaften, die sie dem Vorhandensein von beiden Typen von Argumenten (diskret und kontinulierlich) verdanken. Wir haben bereits die A-Flächen und den Spezialfall der K-Flächen mit konstanter Gausskrümmung studiert: Einige Begriffe sind analog zum diskreten Fall, wie Begleitbasen und die dazugehörigen sinus-Gordon- und Hirota-Gleichungen, manche jedoch nicht: Nachdem eine Gausskrümmung bereits für A-Flächen definierbar ist, wird die übliche Definition von K-Flächen als Tschebyscheff-Netze zu einem Satz. Andere Untersuchungen betreffen zum Beispiel die inzidenz-geometrischen Charakterisierungen von Flächenklassen, die auch im semidiskreten Fall vorhanden sind. Das Ziele dieses Projekts ist das Studium der folgenden Themenbereiche: *) Krümmungen, Minimal- und cmc-Flächen: Die jüngst entstandene Krümmungstheorie für diskrete Flächen, die auf einem "parallelen Gaussbild" beruht, lässt sich erweitern. Besonders interessant sind Situationen wo dieses Gaussbild bereits durch die ursprüngliche Fläche bestimmt ist, wie z.B. für konische Flächen. *) Traansformationen: Überraschenderweise ist dieses klassiche Konzept in Anwendungen in der Freiformarchitektur aufgetaucht. Wir möchten es weiter studieren.