FWF - Diameters - Zufällige rekursive Strukturen mit kleinem Durchmesser

Zufällige rekursive Strukturen mit kleinem Durchmesser Abstract Die vorrangigen Ziele des Projekts sind wie folgt: (1) Erlangen eines tieferen Verständnisses der stochastischen Natur von Zufallsbäumen und allgemeineren Strukturen mit kleinem Durchmesser. (2) Entwicklung und Erweiterung von allgemeinen analytischen Methoden. (3) Stimulieren interdisziplinärer Forschung auf internationalem Niveau. Baumstrukturen spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen wie z.B. Informatik, Quantenmechanik, Biologie und viele mehr, aber auch in vielen Teilgebieten der Mathematik. Sie dienen z.B. als Datenstrukturen. Falls man mit zufällig erzeugten Daten zu tun hat und diese in einer Baumstruktur speichert, dann wird der entstehende Baum ein Zufallsbaum. Um zu verstehen, wie so ein Baum tyischer Weise aussieht (z.B. um effiziente Algorithmen zum Wiederfinden der Daten zu designen), muss man große Zufallsbäume systematisch analysieren. Bäume treten auch oft als Modell für Phänomene der realen Welt auf. Um so ein Modell zu analysieren, beginnt man mit einfachen Modellen wie z.B. Verzweigungsprozessen. Diese versteht man mittlerweile schon sehr gut. Der Nachteil ist, dass sie für viele moderne Anwendungen aus Informatik und Biologie nur ein sehr unrealistisches Modell liefern. Es gibt bessere Modelle, die sich von ersteren auf den ersten Augenblick durch die Größe ihres Durchmessers klar unterscheiden. Im Gegensatz zu Verzweigungsprozessen und ähnlichen Baumfamilien gibt es für Bäume mit kleinem Durchmesser keinen allgemeinen Rahmen, sondern nur viele verschiedene Modelle und partielle Resultate. Oft taucht in der Analyse die RiccatiDifferentialgleichung oder eine dazu ähnlich Differentialgleichung auf. Im Projekt soll dieses Phänomen erforscht werden und existierende Methode zur Gewinnung von Informationen aus solchen Gleichungen erweitert werden. Ein weiteres Ziel des Projekts ist die Vertiefung des Verständnisses für die typische Form von Zufallsbäumen für verschiedene Baumklassen. Dazu kann man z.B. das Profil des Baumes analysieren und in weiterer Folge die Abhängigkeit von mehreren Formparametern von einander. In Anwendungen tritt oft das Problem auf, wie viele Möglichkeiten es gibt, ein komplexes System in lauter voneinander verschiedene Einzelteile zu zerlegen. Das ist ein schwieriges Problem, aber wir hoffen, dass die Methoden, die wir im Laufe des Projekts entwickeln, uns tiefe Resultate zu diesen Fragen zu liefern. In diesem Kontext gibt es Beispiele aus der Biologie (Baummodelle), aber auch andere interessante Strukturen aus anderen Bereichen der Mathematik. Weiters soll noch ein konkretes Problem aus der Informationstheorie behandelt werden, wo man Bäume bzgl. der Pfadlänge zählen muss, was zu kleinem Durchmesser und vermutlich vielen ungewöhnlichen Eigenschaften führt.