FWF - Galois Gruppen - Galois Gruppen von Differentialgleichungen

Dieses Projekt trägt dazu bei, die algebraischen Eigenschaften von linearen Differentialgleichungen besser zu verstehen. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf Differentialgleichungen, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Lineare Differentialgleichungen sind in den Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen allgegenwärtig. Um mit den Lösungen von linearen Differentialgleichungen symbolisch rechnen zu können, muss man die algebraischen Relationen zwischen den Lösungen verstehen. Die algebraischen Relationen zwischen den Lösungen einer gegebenen linearen Differentialgleichung werden durch eine lineare algebraische Gruppe beherrscht, der sogenannten Differentialgaloisgruppe der linearen Differentialgleichung. Alle Differentialgaloisgruppen von allen linearen Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten werden in der absoluten Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen zusammengefasst. Das Hauptziel dieses Projekts ist es, eine expli zite Beschreibung dieser Gruppe zu finden. In der Tat glauben wir, dass eine Vermutung von Professor B.H. Matzat zutreffend ist: Die absolute Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen ist eine freie proalgebraische Gruppe und die Anzah l der Erzeuger dieser freien proalgebraischen Gruppe stimmt mit der Kardinalität des Koeffizientenkörpers der rationalen Funktionen überein. Die absolute Differentialgaloisgruppe eines Differentialkörpers ist das differentielle Analogon der absoluten Gal oisgruppe eines Körpers. Ein Satz von A. Douady, F. Pop und D. Harbater besagt, dass die absolute Galoisgruppe eines rationalen Funktionenkörpers eine freie proendliche Gruppe ist. Die Vermutung von Professor Matzat verallgemeinert diese Aussage. Wichtige Methoden, die in diesem Projekt verwendet werden, sind “Patching” und Einbettungsprobleme. Unser Plan, Matzats Vermutung zu beweisen, besteht aus zwei Schritten. Im ersten Schritt soll eine Charakterisierung von freien proalgebraischen Gruppen mit Hilfe v on Einbettungsproblemen gefunden werden. Im zweiten Schritt soll dann gezeigt werden, dass die absolute Differentialgaloisgruppe des Körpers der rationalen Funktionen diese Charakterisierung erfüllt. Für diesen zweiten Schritt soll die Methode des “Patchin g” verwendet werden.