FWF - Probabilistische Unters. - Probabilistische Untersuchung mehrdimensionaler Probleme

Die Entwicklung der Theorie der Gleichverteilung modulo eins und der Diskrepanztheorie startete mit Hermann Weyls grundlegender Arbeit von 1916. Seither hat sich gezeigt dass diese Konzepte nicht nur von außerordentlichem theoretischen Interesse, sondern auch in vielen Bereichen der angewandten Mathematik von großer Bedeutung sind. So basiert etwa die sogenannte Quasi-Monte Carlo (QMC) Methode zur numerischen Integration auf der Beobachtung, dass der Unterschied zwischen dem Durchschnittswert einer Funktion an bestimmten Beobachtungspunkten und ihrem Integral durch die Variation der Funktion und die Diskrepanz der verwendeten Punkte beschränkt ist; diese Feststellung, deren mathematische Formulierung als Koksma-Hlawka Ungleichung bezeichnet wird, zeigt dass Punktmengen mit geringer Diskrepanz zur numerischen Integration verwendet werden können, und da Punktfolgen mit einer Diskrepanz von asymptotischer Ordung von beinahe N-1 bekannt sind, liefert QMC oft bessere Ergeb- nisse als Monte Carlo (MC) Integration, die einen Fehler von asymptotischer Ordung N-1/2 liefert. Obwohl die Diskrepanztheorie einen intensiv untersuchten Teilbereich der Mathematik darstellt, sind zahlreiche grundlegende Fragen noch offen. Insbesondere sind viele bekannte Ergebnisse nur für eine sehr große Anzahl von Punkten verwendbar, wodurch für die QMC Integration mit einer verhältnismäßig geringen Anzahl von Punkten (im Vergleich zur Dimension) die theoretische Grundlage fehlt. Diese Beobachtung führte in letzter Zeit zu einem verstärkten Interesse an hochdimensionaler QMC Integration, da in diesem Fall die Anzahl der Punkte nicht ausreichend hoch gewählt werden kann, um die bekannten Ergebnisse zu verwenden. Während klassische Konstruktionen von Folgen mit geringer Diskrepanz meistens rein deterministisch sind, basieren diese neuen Methoden auf wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen, entweder indem bekannte Konstruktionen randomisiert werden, oder indem die Existenz bestimmter Punktmengen mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden bewiesen wird. Das vorgeschlagene Forschungsprojekt wird sich mit Anwendungen der Wahrscheinlich- keitstheorie auf hochdimensionale Probleme beschäftigen, insbesondere in der Diskrepanztheorie. Im ersten Jahr werden wir uns mit sogenannten lakunären Funktionenfolgen beschäftigen, die einer bekannten Heuristik zufolge im eindimsionalen Fall ein ähnliches Verhalten wie Folgen unabhängiger Zufallsvariablen zeigen, und daher (vorausgesetzt, dass ähnliche Resultate auch in höheren Dimensionen gültig bleiben) zur MC Integration verwendet werden könnten. Im zweiten Jahr werden wir uns intensiv mit dem Verhalten von Zufallsvektoren beschäftigen, insbesondere in Hinblick auf die empirische Verteilungsfunktion. Im dritten Jahr werden wir uns schließlich vor allem mit Diskrepanztheorie beschäftigen, und wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden verwenden, um Schranken für die Diskrepanz randomisierter QMC-Folgen anzugeben und die Existenz "kleiner" Punktmengen mit geringer Diskrepanz zu beweisen.