FWF - QCLaHA - Quantumchaos, Gitter und harmonische Analysis

Vorliegendes Forschungsprojekt beschäftigt sich mit zwei Arten von Problemen (und deren Anwendungen): A) Verteilungseigenschaften von Zahlenfolgen auf feinen Skalen sowie B) der Geometrie der Zahlen in hoch-dimensionalen Räumen. Die erstgenannten Fragen zielen darauf ab zu messen, wie zufällig sich gewisse (klassische) Zahlenfolgen tatsächlich verteilen. Die angesprochenen Zahlenfolgen kommen häufig aus der Physik; genauer gesagt aus einem neuerem Forschungsbereich, der sich damit beschäftigt, wie sich Chaos in der Quantenmechanik äußert. Eine Antwort hierauf wurde in den 1970ern von den Physikern Barry und Tabor in einer grundlegenden Vermutung vorgeschlagen. Zur Zeit ist diese nur für sehr spezielle Quantensysteme (und auch dort nur zum Teil) verstanden ist. Vereinfachend gesprochen, betrachtet man hierbei wie sich die Energielevel eines typischen Quantensystemes verteilen. Es ist zu erwähnen, dass dabei die Verteilung auf immer feineren Skalen studiert wird. Das steht im scharfen Gegensatz zur z.B. der klassischen Gleichverteilungstheorie (in der Zahlentheorie), wo die Skala fixiert bleibt. In der Tat, es ist ein erklärtes Teilziel derartige Gleichverteilungssätze auf deutlich kleineren Skalen zu untersuchen und, wenn immer möglich, zu verschärfen. Die zweitgenannten Fragen beschäftigen sich mit Gittern - welche man sich als höherdimensionale Varianten eines handelsüblichen Fliegengitters denken kann: Anstatt der üblichen drei Raumdimension kann ein solches allerdings eine beliebige große Anzahl an Raumdimensionen besitzen. Wozu ist das nütze? Zum einen lassen sich diverse Probleme in der Mathematik darauf reduzieren, ob ein (interessantes) Objekt existiert oder nicht. Zum anderen hat sich im Zeitraum der letzten ca. 100 Jahre herausgestellt, dass die Geometrie – genauer die Geometrie der Zahlen – einen vereinigenden und teils vereinfachenden Rahmen bereitstellt, um Existenzfragen in geometrische Gitterprobleme zu übersetzen. Letztere sind für gewöhnlich einer breiteren Auswahl an Methoden zugänglich. Daher spielt die Geometrie der Zahlen z.B. in der Kombinatorik, Zahlentheorie, der Theorie der dynamischen System und den Computerwissenschaften eine entscheidende Rolle. Im vorliegenden Projekt gilt der Fokus einem weniger verstanden Aspekt der Geometrie der Zahlen, nämlich der Dimensionsabhägigkeit in folgendem Sinne: Gegeben sei eine unendliche Anzahl von „kompatiblen“ Gitterpunktproblemen. Existiert immer eine (und wenn ja wie viele) Lösung eines Gitterpunktproblems, aus der vorgegebenen Menge von Gitterpunktproblemen in verschiedenen Raumdimensionen, sofern die Dimensionen des zugrundeliegenden Raumes nur hinreichend groß ist? Kompatibel hier bedeutet, einfach gesagt, dass das zweite Gitter eine höher-dimensional Erweiterung des ersten und das dritte Gitter eine höher-dimensional Erweiterung des zweiten Gitters usw. ist. Die eben genannten Gitterpunktprobleme sind direkt aus der (algebraischen) Zahlentheorie und der Logik motiviert und werden mit neuen geometrischen und analytischen Methoden angegangen.