Homogenisierung mit Hilfe von Optimierung (Subprojekt des DK Numerical Simulations in Technical Siences)

Forschungsgebiet

Jedes Material besitzt eine spezifische Mikrostruktur, welche das makroskopische Materialverhalten bestimmt. Auch Materialien wie Stahl, welche üblicherweise als homogen betrachtet werden, besitzen eine ausgeprägte, nicht homogene Mikrostruktur. Glücklicherweise ist diese Mikrostruktur um einige Größenordnungen kleiner als die Makrostruktur, sodass die Annahme eines homogenen Materialverhaltens eine sehr gute Näherung darstellt. Das bedeutet auch, dass in diesem Fall innerhalb der linearen Theorie das Hookesche Gesetz in seiner isotropen Form angewendet werden kann. Bei faserverstärkten Materialien bzw. Verbundwerkstoffen, bei welchen die verstärkende Materialkomponente manchmal sogar auf der Makroebene sichtbar ist, müssen jedoch anisotrope Materialgesetzte herangezogen werden. Aber sogar dann wird meist ein homogenes Kontinuum angenommen und effektive Materialdaten in der Konstitutivgleichung verwendet. Ein Ansatz zur Berechnung effektiver Materialparameter ist die Betrachtung des mikroskopischen Materialverhaltens und des Übergangs auf die makroskopische Skala. Dies kann mittels unterschiedlicher Verfahren der Homogenisierung erreicht werden.
Ein rechnerisch aufwendiges Homogenisierungsverfahren ist der Multiskalen-Ansatz, der jedoch nicht auf effektive Materialparameter angewiesen ist [10],[12]. Dieser Ansatz ist allgemein anwendbar, jedoch sehr rechenintensiv für konkrete Anwendungen. Andererseits gibt es wie oben beschrieben die Möglichkeit, effektive Materialparameter durch die Abbildung mikroskopischer Materialeigenschaften auf ein makroskopisches Materialgesetz zu bestimmen. Dieser Ansatz ist weniger rechenintensiv als der erste, jedoch nicht allgemein anwendbar. Das bedeutet, dass der gesamte Homogenisierungsprozess für unterschiedliche Mikrostrukturen jeweils wiederholt werden muss.
In diesem Projekt wird der zweite Ansatz verwendet, wobei die Abbildung zwischen Mikro- und Makroebene durch ein Optimierungsverfahren durchgeführt wird. Der Optimierungsschritt ist notwendig, da hier, im Gegensatz zu anderen Ansätzen, Trägheitseffekte auf der Mikroebene berücksichtigt werden. Dies resultiert in ein zeitabhängiges Verhalten auf der Mikroebene, und dementsprechend auch auf der Makroebene.

Stand der Technik

Effektive Materialeigenschaften von Materialien mit Mikrostruktur werden hauptsächlich durch Homogenisierungsverfahren bestimmt. Ein typisches Beispiel dafür sind Verbundwerkstoffe [2],[4]. Techniken, die eigentlich für derartige Materialien entwickelt wurden, sind oft auch auf andere Materialien mit Mikrostruktur anwendbar. Für den Fall zellulärer Schäume mit spezieller Mikrostruktur stehen sogar analytische Methoden zur Verfügung [3]. Ebenso können tragwerksähnliche Strukturen mit analytischen Methoden behandelt werden [5]. Für granulare Materialien werden hauptsächliche numerische Ansätze gewählt [9]. Die mit verschiedenen Ansätzen gefundenen Schranken für effektive Materialdaten auf der Makroebene sind in [11] zusammengefasst. Eine Übersicht über numerische Methoden zur Beschreibung des makroskopischen Verhaltens auf Basis der Mikrostruktur kann in [12] gefunden werden.
All diese Ansätze haben gemein, dass das mikrostrukturelle Verhalten statisch modelliert wird, das bedeutet, dass Trägheitseffekte auf der Mikroebene vernachlässigt werden. Diese Annahme ist vor allem durch die Skalenseparation, die als groß; angenommen wird, motiviert [8].
In der Literatur können nur wenige Ansätze gefunden werden, die Trägheitseffekte auf der Mikroebene berücksichtigen [7]. In einem solchen Fall ist das mikroskopische Verhalten zeit- bzw. frequenzabhängig (bei zeitharmonischer Anregung). Aus diesem Grund sind auch entsprechende effektive Materialeigenschaften abhängig von der Zeit bzw. Frequenz. Derartiges Materialverhalten kann z.B. durch visko- oder poroelstische Konstitutivgleichungen beschrieben werden.
Im Gegensatz zu statisch modellierten Mikrostrukturen erscheint eine analytische Homogenisierung bei allgemeinen Konfigurationen als nicht möglich bzw. zu kompliziert. Stattdessen kann ein Optimierungsproblem definiert werden, um makroskopische Materialdaten aus mikroskopischem Verhalten zu bestimmen [1].

Projekziel

Es wurde bereits ein genetischer Algorithmus untersucht, um dieses Optimierungsproblem zu lösen und lokale Minima zu vermeiden. Bislang wurde jedoch nur eine einfache Kostenfunktion ohne Beschränkungen zur Bestimmung zeit- bzw. frequenzabhängiger Materialdaten verwendet. Da das makroskopische Materialgesetz aber thermodynamisch konsistent (der 2. Hauptsatz der Thermodynamik muss erfüllt sein) sein muss, ist es notwendig ein Optimierungsverfahren zu finden, welches thermodynamische Beschränkungen zulässt. Darüber hinaus ist die Effizienz des genetischen Algorithmus nicht zufrieden stellend. Daher ist es notwendig eine Strategie zu entwickeln, welche die globale Lösungsfähigkeit des genetischen Algorithmus mit der Effektivität lokaler Optimierungsverfahren kombiniert.
In einem ersten Schritt wird die Mikrostruktur mit einem einfachen Balkenmodell im Frequenzbereich beschrieben, um Input-Daten für den Optimierungsprozess zu bekommen. Auf der Makroebene wird ein dreidimensionales viskoelastisches Materialgesetz gewählt, für welches die Parameter gefunden werden sollen. In einem weiteren Schritt sollen aufwendigere Berechnungen auf der Mikroebene mit zwei- und dreidimensionalen Kontinuumsmodellen durchgeführt werden. In diesem Zusammenhang werden zusätzlich Mikrostrukturen behandelt, welche auf der Makroebene anisotrope Materialgesetze erzeugen.

Referenzen

[1] S. Alvermann, M. Schanz: Influence of Inertia on the Microscale in Homogenization. Proc. Appl. Math. Mech. 4 (2004) 179-180.
[2] H. J. Böhm: Modeling the Mechanical Behavior of Short Fiber Reinforced Composites. In Mechanics of Microstructured Materials (H. J. Böhm, ed.), CISM International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures, Nr. 464, Springer-Verlag, Wien New York, 2004.
[3] L. J. Gibson, M. F. Ashby: Cellular Solids. Pergamon Press, Oxford, 1988.
[4] Z. Hashin: Analysis of Composite Materials - A Survey. J. Appl. Mech. ASME 50 (1983) 481-504.
[5] J. Hohe, W. Becker: Effective Stress-Strain Relations for Two-Dimensional Cellular Sandwich Cores: Homogenization, Material Models, and Properties. Appl. Mech. Rev. 55 (2002) 61-87.
[6] M. Hintermüller, K. Ito, K. Kunisch: The Primal-Dual Active Set Strategy as a Semi-Smooth Newton Method, SIAM J. Optim. 13 (2002) 865-888.
[7] R. S. Lakes: Micromechanical Analysis of Dynamic Behavior of Conventional and Negative Poisson's Ratio Foams. J. Engrg. Mat. Tech. 118 (1996) 285-288.
[8] C. Miehe: Computational Micro-to-Macro Transitions for Discretized Micro-Structures of Heterogeneous Materials at Finite Strains based on the Minimization of Averaged Incremental Energy. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 192 (2003) 559-591.
[9] C. Miehe, J. Dettmar: A Framework for Micro-Macro Transitions in Periodic Particle Aggregates of Granular Materials. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 193 (2004) 225-256.
[10] E. Sanchez-Palenzia: Non-Homogeneous Media and Vibration Theory, Vol. 127, Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1980.
[11] S. Torquato: Random Heterogenous Media: Microstructure and Improved Bounds on Effective Properties. Appl. Mech. Rev. 44 (1991) 37-76.
[12] T. I. Zohdi, P. Wriggers: Introduction to Computational Micromechanics, Vol. 20, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2005.