Infinite Elemente zur Beschreibung der Wellenausbreitung in einem poroelastischen Medium

Forschungsgebiet

Die Wellenausbreitung in gekoppelten Gebieten ist in vielen Bereichen der Ingenieurwissenschaften von Interesse, wie z.B. die Ausbreitung von Erdbebenwellen in einem Staudamm mit Wasserbecken. Unendlich ausgedehnte Gebiete deren Beschreibung mittels linearer Theorien erfolgt, können mit der Randelementmethoden effizient behandelt werden. Für eine nichtlineare Beschreibung begrenzter Gebiete können Finite Elemente Methoden effizient eingesetzt werden. Dies führt dazu, dass es oft zu einer gekoppelten Anwendung dieser beiden Methoden kommt. Eine günstigere Alternative zu einer Kopplung von Randelementen mit Finiten Elementen ist die Anwendung so genannter infiniter Elemente. Ziel dieses Projekts ist es, infinite Elemente für die Beschreibung der Wellenausbreitung in einem poroelastischen Kontinuum zu entwickeln.

Stand der Technik

Die Wellenausbreitung in einem poroelastischen Kontinuum wurde anfangs an einem eindimensionalen Modell untersucht. Später wurden mit Hilfe numerischer Verfahren auch Untersuchungen an zwei- bzw. dreidimensionalen Modellen durchgeführt (siehe dazu z.B. [4]). Ein Überblick über die Wellenausbreitung in einem poroelastischen Medium ist in den Tagungsbänden der ersten beiden Biot-Konferenzen zu finden. Die erste Biot-Konferenz hat 1998 in Lovain-la-Neuve [7] stattgefunden, die zweite 2002 in Grenoble [2]. Numerische Realisierungen mit der Finite Elemente Methode zur Beschreibung der Wellenausbreitung in einem poroelastischen Medium existieren bereits [8, 6]. Um näherungsweise die Sommerfeldsche Abstrahlungsbedingung zu erfüllen werden sogenannte infinite Elemente verwendet. Ein umfangreicher Überblick bezüglich infiniter Elemente wurde von Astley [1] verfasst. Der Anreiz zur Verwendung infiniter Elemente liegt darin, dass diese einfach in ein bestehendes Finite Elemente Programm eingebaut werden können. Der Nachteil infiniter Elemente ist, dass diese an das vorliegende spezielle Problem angepasst werden müssen. Zudem kann die Sommerfeldsche Abstrahlungsbedingung nie exakt erfüllt werden.

Projektziel

In der Literatur können verschiedene Formulierungen infiniter Elemente gefunden werden [1, 3, 5]. Mit Hilfe solcher infiniter Elemente ist es möglich halbunendliche Gebiete zu beschreiben, sowie die Sommerfeldsche Abstrahlungsbedingungen näherungsweise zu erfüllen. Das bedeutet, dass die Amplitude der Welle mit zunehmender Entfernung abnimmt und im unendlichen nicht reflektiert wird. Für zeitabhängige Probleme wurden solche infiniten Elemente bereits verwendet, allerdings nur für den Fall, dass nur eine Welle auftritt. Treten mehrere Wellen auf, so ist noch keine entsprechende Lösung im Zeitbereich bekannt. In einem poroelastischen Medium existieren drei Wellen und somit ist nicht klar, welche Welle angenähert werden soll, um eine möglichst gute Approximation der Sommerfeldschen Abstrahlungsbedingung zu erhalten. Wesentliche Arbeiten dieses Projektes sind

-die Entwicklung infiniter Elemente zur Beschreibung mehrerer Wellen,
-die Formulierung solcher infiniter Elemente im Zeitbereich um den numerischen Aufwand gering zu halten
-die Verhinderung einer wesentlichen Verschlechterung der Konditionszahl des Gleichungssystems.

Literatur

[1] R. J. Astley. Infinite elements for wave problems: a review of current formulations and an assessment of accuracy. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 49:951-976, 2000.
[2] J.-L. Auriault, C. Geindreau, P. Royer, J. F. Bloch, C. Boutin, and J. Lewandowska. Poromechanics II. In Proceedings of the Second Biot Conference on Poromechanics, Lisse (Niederlande), 2002. Balkema at Swets & Zeitlinger.
[3] P. Bettess. Infinite Elements. Penshaw Press, Sunderland, 1992.
[4] R. de Boer. Theory of Porous Media. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
[5] K. Gerdes. A summary of infinite element formulations for exterior helmholtz problems, Research Report No. 97-11, Seminar für Angewandte Mathematik, Eidgenössische Technische Hochschule, CH-8092 Zürich, Switzerland. 1997.
[6] B. R. Simon, J. S.-S. Wu, O. C. Zienkiewicz, and D. K. Paul. Evaluation of u-w and u-p finite element methods for the dynamic response of saturated porous media using one-dimensional models. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 10(5):461-482, 1986.
[7] J.-F. Thimus, A.H.-D. Cheng, O. Coussy, and E. Detournay. Poromechanics. In A Tribute to Maurice A. Biot, Rotterdam, 1998. A.A. Balkema.
[8] O.C. Zienkiewicz. Dynamic behaviour of saturated Porous Media; the generalized Biot formulation and its numerical solution. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 8:71-96, 1984.