SOSP - Schrödinger Operatoren und singuläre Störungen

Die Analysis und Spektraltheorie von partiellen Differentialoperatoren hat sich in den letzten Jahren gemeinsam mit abstrakten operatortheoretischen Techniken vielfältig weiterentwickelt. Moderne Konzepte aus der Erweiterungstheorie symmetrischer Operatoren wurden insbesondere auf Schrödinger-Operatoren mit Delta-Punktpotentialen angewandt und haben zu einem tieferen Verständnis der Spektraleigenschaften beigetragen. Im ersten Teil des Projektes wird ein abstrakter Zugang zu singulären Störungen von selbstadjungierten Operatoren im Hilbertraum entwickelt und dieser im zweiten Teil des Projektes auf Schrödinger-Operatoren mit allgemeinen Delta-Potentialen auf Kurven, Flächen und Mannigfaltigkeiten angewandt. Im ersten, abstrakten Teil werden singulär gestörte selbstadjungierte Operatoren als Erweiterungen symmetrischer Operatoren aufgefasst, auf die die Störungen keinen Einfluss haben. Mit Hilfe von sogenannten Randtripeln und deren Weylfunktionen werden die selbstadjungierten Erweiterungen explizit parametrisiert und deren Spektraleigenschaften detailliert untersucht. Die Konstruktion der Randtripel und die analytischen Eigenschaften der zugehörigen Weylfunktionen hängen von der Ordnung der Singularität der Störungen ab. Unter Zuhilfenahme von Formeln vom Kreinschen Typ werden die Differenzen der Resolventen der singulär gestörten und der ungestörten Operatoren auf Zugehörigkeit zu Schatten-von-Neumann-Idealen untersucht. Insbesondere ist hier der für die mathematische Streutheorie wichtige Fall der Spurklasse enthalten. Diese abstrakten Resultate werden dann im zweiten Teil des Projektes auf Schrödinger-Operatoren mit gewichteten Delta-Potentialen (und deren distributionellen Ableitungen) auf Kurven, Flächen und Mannigfaltigkeiten angewandt. Durch eine explizitere Darstellung der Weylfunktionen können Auswirkungen der Störungen auf die Spektren genauer beobachtet und zugehörige inverse Probleme direkter untersucht werden. In Abhängigkeit von der Regularität und der Dimension der Mannigfaltigkeiten, sowie der Differentiationsordnung der singulären Potentiale werden dabei verschiedene, im abstrakten Teil entwickelte Methoden zum Einsatz kommen. Die Aussagen werden sich in den meisten Fällen ohne Probleme auf magnetische Schrödingeroperatoren und allgemeinere elliptische Differentialoperatoren mit variablen Koeffizientenfunktionen ausdehnen lassen.