Some optimal conditions for the ASCLT

István Berkes*, Siegfried Hörmann

*Korrespondierende/r Autor/-in für diese Arbeit

Publikation: Beitrag in einer FachzeitschriftArtikelBegutachtung

Abstract

Let X 1, X 2, … be independent random variables with EX k= 0 and σk2:=EXk2<∞(k≥ 1) . Set S k= X 1+ ⋯ + X k and assume that sk2:=ESk2→∞ . We prove that under the Kolmogorov condition |Xn|≤Ln,Ln=o(sn/(loglogsn)1/2) we have 1logsn2∑k=1nσk+12sk2f(Sksk)→12π∫Rf(x)e-x2/2dxa.s. for any almost everywhere continuous function f: R→ R satisfying |f(x)|≤eγx2 , γ< 1 / 2 . We also show that replacing the o in (1) by O, relation (2) becomes generally false. Finally, in the case when (1) is not assumed, we give an optimal condition for (2) in terms of the remainder term in the Wiener approximation of the partial sum process {Sn,n≥1} by a Wiener process.

Originalspracheenglisch
Seitenumfang19
FachzeitschriftJournal of Theoretical Probability
Frühes Online-Datum6 Mai 2023
DOIs
PublikationsstatusElektronische Veröffentlichung vor Drucklegung. - 6 Mai 2023

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  • Mathematik (insg.)
  • Statistik und Wahrscheinlichkeit
  • Statistik, Wahrscheinlichkeit und Ungewissheit

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