FWF - Topologie - Algorithmen für topologische Datenanalyse

In der heutigen Zeit werden ununterbrochen riesige Datenmengen generiert. Zum Beispiel werden auf YouTube 300 Stunden Videomaterial hochgeladen - pro Minute! Bei diesen Datenmassen benötigt man intelligente Methoden, um die relevanten Informationen aus einer Datensammlung zu extrahieren; diese Prozedur wird als Datenanalyse bezeichnet. Zu den Anwendungsbereichen zählen Empfehlungssysteme für Nutzer von Audio- oder Videostreamseiten oder die automatisierte Erkennung von Anomalien bei Überwachungs-kameras. In den letzten 15 Jahren wurde ein neuer und vielleicht überraschender Ansatz zur Datenanalyse entwickelt: die qualitativen Eigenschaften einer Datenmenge werden mit Hilfe der mathematischen Theorie der Topologie untersucht. Die grobe Idee besteht darin, die Daten in eine geometrische Form zu transformieren und dann zu untersuchen, wie diese Form verbunden ist. Zum Beispiel sind ein Ball und ein Donut verschiedenartig verbunden, weil letzterer ein Loch in seiner Mitte hat. Eine solche topologische Analyse offenbart oftmals relevante Information über die zugrundeliegenden Daten, wie durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen aufgezeigt wurde, z.B. in der Biologie, Physik oder Computergrafik. Jedoch braucht die Computerberechnung der topologischen Eigenschaften für große Daten eine lange Zeit, was den Einsatz dieser Methoden auf eher kleine Beispiel reduziert. Das Ziel des Projekts ist es, dies zu ändern: wir möchten Computerprogramme entwickeln, die Datenmengen verarbeiten können, welche mit heutiger Technologie nicht zu bewerk-stelligen sind. Auf diese Weise erweitern wir erheblich die potentiellen Anwendungsgebiete, in denen topologische Datenanalyse neue Einsichten liefern kann. Ein solcher Fortschritt benötigt neuartige Wege um die relevante topologische Information einer Datenmenge zu berechnen. Um die Vorteile unserer entwickelten Methoden zu verifizieren, werden wir diese mit den Werkzeugen der theoretischen Informatik untersuchen; gleichzeitg werden wir sie mit existierenden Methoden auf realistischen Datenmengen vergleichen. Letzteres erscheint vielleicht als das natürlichere Qualitätsmerkmal, jedoch ist ersteres von ebenso großer Bedeutung, da es einen Vergleich von Berechnungsmethoden auf allen potentiellen zukünftigen Eingaben erlaubt, während Experimente nur das Verhalten auf derzeit verfügbaren Eingaben wiedergeben. Lösungen, die in beiden Varianten überlegen sind, liefern langfristig wertvollere Beiträge zum Forschungsgebiet. Dieses Projekt hat einen bemerkenswert interdisziplinären Charakter, indem es algebraische Topologie, Datenanalyse, Geometrie, theoretische Informatik und Softwareentwicklung zusammenbringt. Es etabliert effiziente Berechnung als Brückenschlag zwischen abstrakter Mathematik und realen Anwendungsbereichen und ebnet den Weg für topologische Methoden als Standardwerkzeug im Kontext der Datenanalyse.