FWF - Character sums - Charaktersummen, L- Funktionen und Ihre Anwendungen

Die Theorie der Zeichensummen und L-Funktionen begann mit Dirichlets Beweis der Gleichverteilung von Primzahlen in arithmetische Progressionen. Diese Konzepte haben sich allgemein erweitert und sie haben in vielen arithmetischen Problemen Angewendungen gefunden. Beispielsweise Schranken für kurze Zeichensummen implizieren Schätzungen für den kleinsten quadratischen Rest. Hauptsächlich die derzeit bekanntesten obere Schranken entsprechen das Ergebnis von Burgess in 1957. Einige Verfeinerungen und Verallgemeinerungen seines Ergebnisses brachten den Begriff der multiplikativen Energie ins Bild. Die additiven Kombinatorik entwickelt sich gerade viel und bietet neue Werkzeuge um diese Notion zu untersuchen. Außerdem wurden die verbundenen größte gemeinsame Teiler (GGT)-Summen in letzter Zeit wegen des Zusammenhangs mit Extremwerten der Riemannschen Zetafunktion und allgemeiner Extremwerten von L -Funktionen intensiv untersucht. Ursprünglich hatten GGT-Summen auch interessante Anwendungen in der metrischen Theorie der diophantischen Approximationen. Dieses Projekt befasst sich mit analytischen und kombinatorischen Fragestellungen. In der Zwischenzeit planen wir, weitere Anwendungen von Zeichensummen in zahlentheoretischen Problemen zu entwickeln. Wir untersuchen Optimierungsprobleme mit GGT-Summen und der multiplikativen Energie, die in unserer jüngsten Arbeit mit de la Bretèche und Tenenbaum entstanden sind. Wir entdeckten natürliche Anwendungen für Charaktersummen sowie das Nicht-Verschwinden Modulformen. Unser Ziel ist es, neue Techniken zu entwickeln, die sich zur Lösung solcher Fragen eignen, und die Optimierungsprobleme der Gegenstücke in anderen Situationen genau zu formalisieren: quadratische Zeichen, Hecke Spitzenform, endlicher Körper, ... Ein weiteres verwandtes Thema dieses Projekts ist die Untersuchung verallgemeinerter Sidon-Mengen. Ein Ziel des Projektes ist neue deterministische und probabilistische Konstruktionen Sidon Teilmengen zu erhalten. Darüber hinaus sollen verschiedene Arten von GGT-Summen mit Methoden der additiven Kombinatorik untersucht und Anwendungen werden auf dem Gebiet der metrischen Theorie der diophantischen Approximationen gesucht. Ein weiterer Projektschwerpunkt sind die analytischen Eigenschaften von L -Funktionen und automorphe Formen. Einige Probleme, wie Extremwerten von L -Funktionen und Momente von L -Funktionen, werden unter Verwendung früherer Techniken und potenziell neuer effizienter Methoden betrachtet. Wir planen auch Nullstellen von Fekete-Polynomen und andere verbundene Probleme mithilfe probabilistischer Techniken zu untersuchen.