FWF - LACDIO - Lakunarität und Diophantische Approximation

Die Lösbarkeit Diophantischer Gleichungen ist eine der ältesten Probleme der Mathematik. Bereits Pythagoras suchte Zahlen, sodass deren Quadrat sich als Summe zweier Quadrate schreiben lässt. Diese Frage lässt sich als Diophantische Gleichung x^2+y^2=z^2 formulieren. Oft ist es schwer eine Diophantische Gleichung zu lösen. Mein Forschungsinteresse gilt verschiedenen Fragen über die Lösungen einer Diophantischen Gleichung. Hierzu möchte ich diese zusammen mit Mathematikern der University of British Columbia sowie mit Mathematikern der TU Graz nebst der Universität Salzburg mit zeitgemäßen Methoden untersuchen. Viele aus historischer Sicht interessante Diophantische Gleichungen sind von der Bauart f(x)=g(y), wobei f und g eine feste Anzahl an Termen habe, und insbesondere im Falle von Interesse, dass beide "wenig" Terme haben. Solche f bzw. g bezeichnen wir als lakunär. Lakunäre Polynome sind unter verschiedenen Gesichtspunkten untersucht worden. Ich bin an deren Verhalten bezüglich Darstellbarkeit als Komposition (anderer Polynome) interessiert. Derartige Fragen wurden für allgemeine Polynome, genauso wie Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik, von vielen Mathematikern studiert. Hiermit begann der Amerikaner J.F. Ritt in den 1920ern und erzielte Ergebnisse von fundamentaler Bedeutung. Ich möchte neue Methoden benutzen (diese stammen von meinen Arbeiten zu Kompositionen von Überdeckungen von Kurven, welche man als verallgemeinerte rationale Funktionen betrachten kann) um damit neue Einsichten über lakunäre Polynome zu gewinnen. Zu meinen Interessen zählen auch Querverbindungen zu anderen Teilbereichen der Mathematik, wie z.B. der komplexen Analysis, der arithmetischen Dynamik usw.. Zudem bin ich an modernen Methoden zum Lösen von Diophantischen Gleichungen interessiert. Die Fähigkeit Diophantische Gleichungen aufzulösen hat sich in den letzten Jahren wesentlich verbessert, was sowohl Fortschritten in der Theorie als auch der Weiterentwicklung von Computer und Algorithmen geschuldet ist. Im Falle der Gleichungen vom Typ f(x)=g(y), mit lakunären f und g, suche Ich scharfe Resultate über die Anzahl der Lösungen oder versuchen diese komplett zu lösen. Solche Fragen sind von zentralen Interesse für Zahlentheoretiker. Die Zahlentheorie hat heute Anwendungen in multiplen Teilgebieten der Mathematik und auch in der Kryptographie.