FWF - Self WW - Selbstorganisation durch lokale Wechselwirkung: Minimale Energie, Externe Felder und Numerische Integration

Eine überraschende Auswahl von Problemen in Wissenschaft und Ingenieurwesen – von Biologie über Chemie und Physik zu Komputerwissenschaften und Logistik – können als ein diskretes minimales Energieproblem formuliert werden. Ein klassisches Beispiel ist das Problem von Thomson zur Bestimmung der Verteilung von N Elektronen auf der Einheitssphäre mit minimaler potentieller Energie, wobei sich die Elektronen gemäß einer durch das Coulombsche Gesetz gegebenen Kraft abstossen. Das Ändern des Kraftgesetz führt auf Mehrfachelektronenblasen in superfluiedem Helium, gleichgewichteten numerischen Integrationsformeln, Virus-Morphologie, Kristalle, fehlerkorrigierende Kodes, Mehrstrahl-Laser-Implosions Geräten-und auf das optimale Plazieren von Funkmasten, Kommunikationssatelliten und Lagerstätten. Die Frage nach dem „effektiven Stapeln von Orangen in Schachteln“ hat gleichermassen Krämer, Waffenmeister und Chemiker über Jahrhunderte fasziniert. Erst kürzlich konnte das dreidimensional Problem (Keplersche Vermutung) von Hales gelöst werden. Für höhere Dimensionen sind solche effektiven Anordnung ein Mysterium und erscheinen hartnäckig in der asymptotischen Analyse von hier betrachteten minimalen Energie-Problemen. In der mathematischen Abstraktion lässt sich eine solche Vielfalt von selbstorganisierende Anordnungen bei Annahme eines inversen Potenzgesetzes (mit Exponent s) für die Punktinteraktion beobachten. Damit lässt sich das hier studierte diskrete minimale Energieproblem definieren. Die Stärke dieses Zugangs wird evident, wenn eine einfache Änderung von s unterschiedliche Themen wie (I) worst-case Verhalten von numerischer Integration mittels Mittelwerten der Funktion in wohl-definierten Knoten (Quasi-Monte Carlo Regeln), (II) Positionen von Elektronen im stabilsten Energiegleichgewicht und Anordnungen von Protein-Untereinheiten von Virenkapseln, (III) Diskretisierung von Mannigfaltigkeiten und (IV) dichteste Packungen behandeln lässt. Ein substantieller Teil des Projekts befasst sich mit fundamentalen mathematischen Fragen zum asymptotischen Verhalten eines geeigneten Energiebegriffs für unendliche periodische und quasi-periodische Punktmengen und der Verbindung zum minimalen Energieproblem im kompakten Fall. Für die theoretischen Berechnungen werden neuartige Kombinationen von zahlentheoretischen, algebraiischen, kombinatorischen und graphentheoretischen Methoden benötigt. Weitere spezifische Fragen betreffen (a) das diskrete minimale Energieproblem für Kurven und Torus für generelles s; (b) die Erweiterung des theoretischen Rahmens für minimale Energieprobleme mit externe Feldern für alle s im potentialtheoretischen Fall; und (c) die Analyse von explizit konstruierbaren Punktkonfigurationen für Quasi-Monte Carlo Regeln. Dieses Projekt wird das existierende mathematische Wissen für zur Zeit ungelöste potentialtheoretische Fragen voranbringen.