Linear forms in logarithms and applications to Diophantine problems

Die Theorie der Linearformen in Logarithmen liefert eine wesentliche Maschinerie zur effektiven Lösung vieler Arten von diophantischen Gleichungen. Seit der Pionierarbeit von Alan Baker in den 1960er Jahren wurde die Theorie
(die auch als Baker-Methode bekannt ist) von vielen Mathematikern ausführlich untersucht und ihre Fortschritte bringen die Lösung vieler langjähriger klassischer Probleme in der Zahlentheorie hervor. Sie wird immer noch als eines der entscheidenden Werkzeuge zur Lösung von Diophantischen Gleichungen und anderer Probleme der Zahlentheorie angesehen.
In dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf Linearformen in Logarithmen in den archimedischen und nicht-archimedischen Stellen. Im ersten Teil geben wir einen
Überblick über einige wichtige Meilensteine in der historischen Entwicklung der Theorie. Wir geben auch eine kurze Beschreibung einiger ausgewählter Probleme, die durch Linearformen in Logarithmen gelöst werden.


Im zweiten Teil werden die während des Promotionsstudiums erzielten Ergebnisse vorgestellt. Wir beginnen mit der Präsentation der Ergebnisse für die unteren Schranken für Linearformen in zwei Logarithmen im nicht-archimedischen Fall. Genauer gesagt geben wir untere Schranken für den ultrametrischen Abstand zwischen zwei ganzzahligen Potenzen algebraischer Zahlen. Als nächstes stellen wir die Lösungen zweier Varianten eines Problems von Pillai mit Hilfe der Linearformen in Logarithmen vor. Das erste Problem betrifft Fibonaccifolgen und Tribonaccifolgen, während das zweite Problem lineare Rekursionsfolgen beinhaltet. Schließlich präsentieren wir mittels der Theorie der Linearformen in Logarithmen die Lösungen zweier diophantischer Gleichungen, die Summen von Fibonacci-Zahlen und Zweierpotenzen betreffen